求不定積分∫x^3/√(1-x^2)dx的三種方法


求不定積分∫x^3/√(1-x^2)dx的三種方法

2021-01-10 網易

2020-02-21 18:02:14 來源: 楚鄂新阿

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  本文主要內容,介紹求不定積分∫x^3/√(1-x^2)dx的三種方法和步驟。

  

解法一:

  思路:根據分子分母的關係,直接變形化簡求得:

我=-∫[x(1-x^2)-x]dx /√(1-x ^ 2)

=-∫x(1-x ^ 2)dx /√(1-x ^ 2)+∫xdx/√(1-x ^ 2)

=-∫x√(1-x ^ 2)dx-(1/2)∫d(1-x ^ 2)/√(1-x ^ 2)

=(1/2)∫√(1-x ^ 2)d(1-x ^ 2)-√(1-x ^ 2)

=(1/3)√(1-x ^ 2)^3-√(1-x ^ 2)+ c

解法二:

  思路:利用不定積分的分部積分方法求得:

I =∫x^ 2 * xdx /√(1-x ^ 2)

=-(1/2)∫x^ 2d(1-x ^ 2)/√(1-x ^ 2)

=-∫x^2d√(1-x ^ 2)

= -x ^2√(1-x ^ 2)+∫√(1-x ^ 2)dx ^ 2

= -x ^2√(1-x ^ 2)-∫√(1-x ^ 2)d(1-x ^ 2)

= -x ^2√(1-x ^ 2)-(2/3)√(1-x ^ 2)^ 3 + c

解法三:

  思路:利用三角函數的代換關係求得。

  設x=sint,則cost=√(1-x^2),此時:

I =∫sin^ 3td(sint)/√(1-sin ^ 2t)

=∫sin^ 3t *成本dt /成本

=∫sin^ 3 t dt

=∫sint(1-cos ^ 2 t)dt

=∫sintdt-∫sintcos^ 2 tdt

=-成本+∫cos^ 2tdcost

=-成本+(1/3)cos ^ 3 t + c

=-√(1-x ^ 2)+(1/3)√(1-x ^ 2)^ 3 + c。

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