從自然常數e到電容充電的遐想


從自然常數e到電容充電的遐想

2021-02-23 通向模擬集成電路設計師之路

作者君前段時間看到了這樣一篇文章:講的是自然常數e的來源。

簡而言之,其實e就是  這樣一個極限值。然後,看到了銀行是如何黑大家的錢的……作者君感到義憤填膺,心情久久不能平靜……

http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/07/mathematical_constant_e.html

作者君轉念一想,咱們天天遇到的電容充電的公式,不也是e爲底數的嗎?那豈不是應該也有著一樣的概念?沒事咱們推導試試看?

我們來看看一個典型的直流源V0通過R向C充電。(當然啦,就是個低通濾波器啦!)

1*dt時刻的電路

考慮第一個微小時段dt的充電。經過了dt這麼長的時間,本來沒有電荷的C,現在上面有了很微小的電壓V1。假如dt足夠小,那麼這段時間內的dV,就是C上面的電壓變化量,就是V1本身。因爲R和C上面的電流是相等的,所以有了下面的公式。左邊部分是電容的電流,右邊部分是R上面的電流:

式(1)

所以可以推導出:

式(2)

假設RC/dt等於x.

下圖是歸一化的充電曲線,爲了畫圖方便,這裡的充電公式是

1*dt 時段內的歸一化充電曲線2*dt時刻的電路

再考慮第二個微小時段的充電。此時,經過了第二個dt,C上面的電壓從之前的V1變成了V2,但是電阻左邊的電壓源還是V0,此時電路裡面的電流可以寫成:

式(3)

同樣可以推導出:

式(4)

2*dt 時段內的歸一化充電曲線3*dt時刻的電路

接著再算第三個微小時段的充電:

式(5)

再次推導出:

式(6)

呼呼呼,看出規律來了嗎?^_^

3*dt 時段內的歸一化充電曲線n*dt時刻的電路

如果我想知道第n個微小時段的電壓情況,用上面的公式疊代一下就可以了:

式(7)

n*dt 時段內的歸一化充電曲線 (這裡隨便選了個n=8)

如何利用已知的公式 呢?

不急不急,我們先算一下公式(7)上面部分  好了!

式(8)

因爲RC/dt等於x,所以如果現在的時間是t,那麼可以得到n=t/dt。也就是說,

式(9)

重新代入之前的公式裡面,

式(10)

爲了簡化運算,我們引入兩個變量m和k。它們沒啥特別的意義,只是爲了簡化運算,使得公式看起來更像e那個公式一些。

假如 ,其中:

那麼上面的公式可以繼續簡化:

式(11)

如果考慮到dt趨近於無窮小,n趨近於無窮大,那麼:

式(12)

哈哈,算到這裡,總算看到了熟悉的部分了!勝利在望!!

最後回到n個時段的公式eq.(7)裡面:

也就是我們一般看到的公式了。

哈哈哈哈,好像很神奇哇!

寫到這裡,作者君自己也不知道這篇文章的目的是什麼?總之,自然常數e這麼一個大家天天見到和用到的東西,大家通過上面這一頓計算,有了新的領悟,作者君覺得就很好了!

很多東西,我們天天見到,習以爲常的認爲就是這樣的。可是有時候停下來想想看,爲什麼是這樣呢?或許會對世界有新的感悟?

PS:如果推導有錯誤,歡迎大家指正!