[教案] 命題演算

命題演算是研究命題之間的蘊涵關係。The propositional calculus studies the relation of implication between propositions.

這種關係必須與命題函數之間的形式蘊涵區別開來。”形式蘊涵在多大程度上可以用蘊涵或實質蘊涵來定義”一直是個難題，我們將在以後專題講解，在此暫不作探討。總之，給蘊涵下定義幾乎是不可能的。無論真理還是謬誤僅僅給我們提供新的蘊涵，而不是給蘊涵下定義。

蘊涵無法定義，但是命題是可定義的。每一個命題都蘊涵它自己，任何不是命題的東西都不蘊涵任何東西。「p 是一個命題」相當於說「p蘊涵p」，這種等價就被用來定義命題。Hence to say “p is a proposition” is equivalent to saying “p implies p”; and this equivalence may be used to define propositions.

命題演算的特點是：他所有的命題都有一個假設，並由此產生一個實質蘊涵的斷言。The propositional calculus is characterized by the fact that all its propositions have as hypothesis and as consequent the assertion of a material implication.

命題演算有10個公理（基本命題）。

一是無論p和q是什麼東西，「p蘊涵q」是一個命題。

如果p蘊涵q，那麼p蘊涵q。

二是蘊涵任何東西的東西是一個命題。

如果p蘊涵q，那麼p蘊涵p。

三是任何東西所蘊涵的東西是一個命題。

如果p蘊涵q，那麼q蘊涵q。

四是蘊涵中的任何一個真假設可以被忽略，結果可以被斷言。

五是簡化簡化。兩個命題的聯合斷言蘊涵其中一個命題的斷言。

如果p蘊涵p同時q蘊涵q，那麼pq蘊涵p。

六是三段論三段論。

如果p蘊涵q，q蘊涵r，那麼p蘊涵r。

七是輸入輸入原理。

如果q蘊涵q同時r蘊涵r，如果p蘊涵「q蘊涵r」，那麼pq蘊涵r。

八是exportation輸出原理。

如果p蘊涵p同時q蘊涵q，如果pq蘊涵r，那麼p蘊涵「q蘊涵r」。

九是組成合成原理。

如果p蘊涵q同時q蘊涵r，那麼p蘊涵qr。

十是減少還原原理。

如果p蘊涵p同時q蘊涵q，那麼”(p蘊涵q)蘊涵p” 蘊涵q。

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（圖片來源網絡，侵刪）

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