圓周率日說圓周率


圓周率日說圓周率

2021-02-25 職業數學家在民間

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今天是圓周率日,我們來談談圓周率,中國人對圓周率的熟悉,很大程度上來自南北朝時期數學家祖沖之(公元480年)對圓周率的計算,他的結果是圓周率介於3.1415926和3.1415927之間,這個事情一直爲國人所津津樂道,甚至寫進了數學教科書。

其實祖沖之計算圓周率的方法就是用內接和外接多邊形逼近圓,這種方法稱爲割圓法,在西方爲阿基米德首創,在中國是劉徽首創,他們兩人算的圓周率近似值分別是3.141851和3.141024。

還值得一提的是,17世紀的德國數學家魯道夫·科伊倫,用(2的62次方)邊形,將圓周率計算到小數點後第35位

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288

但是,從阿基米德,劉徽到祖沖之,魯道夫,計算圓周率的方法本質上沒有什麼不同。無非就是比誰的多邊形更接近圓,比比誰的計算更有耐性。

等到微積分來臨是,各種計算π的無窮級數,無窮乘積,連分數紛紛冒出來,比如Wallis公式:

還有梅欽公式

這個公式再加arctan x這個函數的泰勒展開式,英國數學家梅欽計算π值輕鬆地突破100位數大關。

很多國人認爲祖沖之的結果領先西方八百多年,是一項偉大的數學工作。不可否認祖沖之那個年代計算圓周率很不容易,魯道夫更不容易,他是用盡畢生精力在算圓周率,(2的62次方)邊形,算到小數點後第35位,想想都可怕。但是,不論他們的工作有多艱辛,多龐大,多複雜,在當時多麼領先,多麼輝煌,到來梅欽公式或者Wallis公式面前,立刻都黯然失色了,完全過時了,失去了全部的學習意義,淪爲一段歷史記載了。

時至今日,即使是梅欽公式在數學專業學生眼裡也是非常偏的內容了,除非是專門學相關的分支方向。至於Wallis公式,在學微積分或數學分析的時候,也是可講可不講的一個推論,它是很經典,但絕不是微積分裡面的重要內容,微積分裡面更重要的東西太多太多了。

不過,數學中有些東西是永遠不會過時的,比如歐幾里德關於素數無限性的證明。其實,我認爲這個證明並不困難,一個稍微有些數學才華的中學生完全可以獨立證明出來。但是,就是這個無比簡單的證明,被寫進了每一本基礎數論教科書,供一代又一代的數學學徒瞻仰。

總之,真正重要的數學工作,它不一定是很困難的,而很困難的工作,也未必重要。

除了圓周率的徒手計算,類似的例子還有歷史上有人給出了正257邊形尺規作圖法,長達80多頁,後來又有人用尺規作出了正65537邊形,其手稿有整整一隻手提箱,現在還保存在哥廷根大學。

時至今日,別說這些具體的尺規作圖問題,就是尺規作圖作爲整個數學話題也已經沒有什麼學習意義了,唯獨剩下學抽象代數中域理論的時候有些歷史指導意義,不是也是可有可無的,絲毫不妨礙你學抽象代數。

不知道現在中學還有沒有教尺規作圖,我是建議刪了吧,或者簡單提一提。